Основы математической экономики. Предмет и задачи математической экономики

06.02.2024

Магнитогорск 2005

Сборник задач по курсу «Математическая экономика». - Магнитогорск: МаГУ, 2005. – 184 с.

В сборнике дан обзор ключевых категорий и положений, используемых в курсе «Математическая экономика». Представлены примеры решения типовых задач, приведены вопросы для самопроверки по изучаемому материалу. Материалы пособия могут быть использованы в курсах «Финансовая математика», «Математические методы финансового анализа», «Финансовый менеджмент», «Финансовый анализ» и др.

Работа ориентирована на преподавателей, аспирантов и студентов очного и заочного отделения, научным и практическим работникам, специализирующимся в области управления финансами и инвестиционными проектами, применения математических методов и моделей в исследования экономических систем и явлений.

Составители. Г.Н. Чусавитина,

В.Б. Лапшина.

 Чусавитина Г.Н., Лапшина В.Б. 2005

 Магнитогорский государственный университет, 2005

ВВЕДЕНИЕ 5

Глава 1 простые проценты 7

1.1. Определение ставок и вычисление процентов 7

1.2. Простая процентная ставка 10

1.3. Простая учетная ставка 21

1.4. Погашение кредита и амортизационные отчисления 32

1.5. Вычисление средних значений 41

1.6. Валютные расчеты 48

1.7. Налог на прибыль 53

1.8. Инфляция 56

1.9. Замена и консолидация платежей 64

Глава 2 СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ 73

2.1. Сложная процентная ставка 73

2.2. Сложная учетная ставка 91

2.3. Непрерывная ставка 101

2.4. Эквивалентность ставок 107

2.5. Инфляция и начисление сложных и непрерывных процентов 112

2.6. Замена платежей и сроков их выплат 125

Глава 3 АННУИТЕТЫ 132

3.1. Постоянный аннуитет 132

3.2. Непрерывный и переменный аннуитеты 148

3.3. Оценка аннуитета с периодом больше года 157

ВВЕДЕНИЕ

«Математическая экономика» - это название дисциплины, придуманное математиками. Экономистам больше нравится другое название –«Экономико-математические модели и методы». В учебных программах и стандартах экономических факультетов часто встречается именно такое название. На наш взгляд, эти два названия одинаково точно передают внутреннее содержание предмета, где гармонично сочетаются экономические и математические аспекты. К сожалению, на практике часто программа курса ЭММиМ целиком составляется из отдельных разделов "Исследования операций и математического программирования", которые, во-первых, уже были пройдены до этого курса, во-вторых, содержат математические модели принятия решений и оптимизации, а не экономико-математические модели как таковые.

Математическая экономика - это наука, которая использует математический аппарат в качестве метода исследования экономических систем и явлений.

Таким образом, объектом изучения (или предметной областью) математической экономики является экономика - как часть бытия или часть обширной области человеческой деятельности.

Как и другие науки, изучающие экономику в целом или ее составные части, математическая экономика пользуется определенной методологией и имеет свою специфику. Специфика математической экономики, ее методологическая особенность заключается в том, что она изучает не сами экономические объекты и явления как таковые, а их математические модели. Ее цель- получение объективной экономической информации и выработка имеющих важное практическое значение рекомендаций. Формально математическую экономику можно отнести как к экономической, так и к математической наукам. В первом случае ее следует понимать как тот раздел экономики, который изучает количественные и качественные категории, а также поведенческие аспекты экономических субъектов. Считая же математическую экономику одним из направлений математики, можно отнести ее к тем разделам прикладной математики, которые занимаются оптимизационными задачами и задачами принятия решения

По своей природе экономика - самая близкая к математике социальная наука. Уже в определении самого понятия экономики, ее главных задач можно увидеть математические понятия и терминологию.

Действительно, экономика - это общественная наука об использовании ограниченных ресурсов с целью максимального удовлетворения неограниченных материальных потребностей населения. Центральные проблемы экономической науки - рациональное ведение хозяйства, оптимальное распределение ограниченных ресурсов, изучение экономических механизмов управления, разработка методов экономических расчетов - по существу являются задачами, решаемыми в рамках математических наук. Количественные и качественные методы математики являются наилучшим вспомогательным аппаратом для получения ответов на основные вопросы экономики:

что должно производиться (т. е. какие товары и услуги и в каком количестве надо производить)?

как будут производиться товары (т. е. кем и с помощью каких ресурсов и какой технологии)?

для кого предназначены эти товары (т.е. кем и как будут потребляться эти товары)?

Наконец, задача экономической теории, связанная с приведением в систему, истолкованием и обобщением поведения участников экономики в процессе производства, обмена и потребления, восходит к математическим проблемам оптимизации и принятия решения.

С учетом сказанного выше можно говорить о следующих основных задачах, стоящих перед математической экономикой:

разработка математических моделей экономических объектов, систем и явлений (общих и частных задач экономики при различных условиях, предпосылках и на различных уровнях);

изучение поведения участников экономики (условий существования оптимальных решений и их признаков, а также методов их вычисления в моделях потребления, фирмы, совершенной и несовершенной конкуренции и др.);

изучение описательных моделей экономики (модели планирования, "затраты - выпуск", расширяющейся экономики, экономики благосостояния и роста и др.);

анализ экономических величин и статистических данных (эластичности, средних и предельных величин, регрессионный и корреляционный анализ и прогнозирование экономических факторов и показателей).

Цели и задачи изучения темы

Введение в математическую экономику

1. Предмет и задачи математической экономики

2. Математическое моделирование экономических систем

3. Примеры экономических задач оптимизации и управления

4. Общая схема принятия решений. Виды и параметры экономических задач оптимизации и управления

5. Оптимальное поведение и его формализация в экономико-математических моделях

Математическая экономика (эконометрика, экономико-математическое моделирование) - сфера научной и практической деятельности, целью которой является математически формализованное описание экономических объектов, процессов и явлений.

Математическая экономика – дисциплина, которая занимается изучением экономики, экономических процессов и их моделей.

Предмет математической экономики – это математические модели реальных экономических объектов.

Метод математической экономики – системный анализ экономики как сложной динамической системы.

Модель – объект, который замещает оригинал и отражает важные для данного исследования черты и свойства оригинала.

Система – это совокупность взаимосвязанных элементов, совместно реализующих определенные цели.

Надсистема – окружающая систему среда, в которой эта система функционирует.

Подсистема – подмножество элементов, реализующих цели, согласованные с целями системы.

Основная цель экономики – это обеспечение общества предметами потребления. Экономика состоит из хозяйственных единиц: предприятия, фирмы, банки и т.д. Надсистемой национальной экономики является природа, общество и мировая экономика. Подсистема состоит из следующих частей: производственная сфера и финансово-кредитная.

Особенности экономики как объекта моделирования состоят в следующем:

· модели в экономике не соответствуют техническим моделям, когда можно построить материальный объект и отработать все функции поведения, копию экономического процесса построить нельзя;

· в экономике ограничены возможности локальных экономических экспериментов, так как все ее части жестко взаимосвязаны между собой, поэтому чистый эксперимент не возможен. То есть гипотезы развития экономических явлений основываются на аналогичных явлениях, которые происходили ранее, и на математическом моделировании. Например, модель Кейса выхода экономики из кризиса 1929-1939 гг. была применена в Германии и Японии и получила название «экономического чуда».

Чтобы выработать правильное экономическое решение, необходимо учесть прошлый опыт и результаты построения экономических моделей в аналогичных ситуациях.

· при выполнении основной функции экономическая система осуществляет следующие действия:

Размещает ресурсы;

Производит продукцию;

Распределяет предметы потребления;

Осуществляет накопление.

Рассмотрим схему функционирования экономики:

В процессе производства создается ВВП, который распределяется между всеми ячейками экономики или общества.

Процесс производства предполагает наличие в нем средств и предметов труда. Средства труда участвуют в нескольких производственных циклах, вплоть до полного износа морального или физического, или их замены. Предметы труда участвуют в одном производственном цикле. В некотором случае земля является средством производства, если земля не освоена, то она является природным ресурсом или предметом труда.

Процесс накопления сопровождается созданием накопленных средств производства, которые подразделяют на основные (средства труда) и оборотные (предметы труда).

Основные производственные фонды в течение длительного времени обслуживают свою форму и в меру изнашивания учитываются в образовании стоимости производимого в данном году продукта.

Просто воспроизводство осуществляется за счет амортизационных отчислений. Расширенное – за счет капитальных вложений и частично за счет амортизационного фонда.

Оборотные фонды – предметы труда, находящиеся в процессе производства. Состоят из производственных запасов и предметов труда, которые входят в незавершенную продукцию.

В результате функционирования экономики за год все отрасли материального производства создают ВВП. В натурально-вещественной форме ВВП распадается на средства труда и предметы потребления. В стоимостной форме – на фонд возмещения выбывших основных фондов (амортизационный фонд) и вновь созданную стоимость (национальный продукт).

В процессе создания ВВП производственная подсистема производит и вновь потребляет промежуточный продукт (предметы труда, которые используются для текущего производственного потребления, их стоимость целиком переходит в стоимость средств труда или предметов потребления, входящих в ВВП).

Валовой выпуск применяется в качестве вспомогательного показателя, который содержит в себе стоимость ВВП и промежуточного продукта, при этом стоимость предметов труда учитывается дважды в промежуточном продукте и ВВП.

Основная цель экономики - обеспечение общества предметами потребления. В экономике действуют устойчивые количественные закономерности, поэтому возможно их формализованное математическое описание.

Объект изучения учебной дисциплины - экономика и ее подразделения.

Предмет - математические модели экономических объектов.

Метод - системный анализ экономики как сложной динамической системы.

Модель - это объект, который замещает оригинал, отражает наиболее важные для данного исследования черты и свойства оригинала.

Модель, представляющая собой совокупность математических соотношений, называется математической .

ЭЛЕМЕНТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Система - это совокупность взаимосвязанных элементов, совместно реализующих определенные цели.

Надсистема - окружающая систему среда, в которой функционирует система.

Подсистема - подмножество элементов, реализующих цели, согласованные с целями системы (подсистема может осуществлять часть целей системы).

Экономическая система: размешает ресурсы, производит продукцию, распределяет предметы потребления и осуществляет накопление.

Надсистема национальной экономики - природа, мировая экономика и общество.

Главные подсистемы экономики - производственная и финансово-кредитная.

ОСОБЕННОСТИ ЭКОНОМИКИ КАК ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ

В экономике невозможны модели подобные техническим, т.к. нельзя построить точную копию, экономики и на этой копии отрабатывать варианты экономической политики.

В экономике ограничены возможности экспериментов, поскольку все ее части жестко взаимосвязаны друг с другом.

Прямые эксперименты с экономикой имеют как положительную, так и отрицательную стороны.

Положительная сторона - сразу видны краткосрочные результаты проводимой экономической политики.

Отрицательная сторона - невозможно напрямую предвидеть средне- и долгосрочные последствия принимаемых решений,.

Таким образом, для выработки правильных экономических решений необходим учет как всего прошлого опыта, так и результатов, полученных в расчетах по математическим моделям, адекватным данной экономической ситуации.

Разработка математических моделей трудоемка, но весьма перспективна. Так, модель Кейнса, отражающая возможности рыночной экономики адаптироваться к возмущающим воздействиям, была построена под впечатлением кризиса 1929-1933 гг. Однако применение этой модели для выхода из послевоенного кризиса в Германии и Японии было весьма успешным и получило название «экономического чуда».

РАССМОТРИМ СТРУКТУРУ ЭКОНОМИКИ КАК ОБЪЕКТА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Экономика - сложная система, состоящая из производственных и непроизводственных (финансовых) ячеек (хозяйственных единиц), находящихся в производственно - технологических и (или) организационно-хозяйственных связях друг с другом.

По отношению к экономической системе каждый член общества выступает в двоякой роли: с одной стороны, как потребитель, а с другой - как работник.

Кроме рабочей силы, материальными ресурсами являются природные ресурсы и средства производства

Все отрасли материального производства создают валовой внутренний продукт (ВВП).

В натурально-вещественной форме ВВП – это средства труда и предметы потребления,

В стоимостной форме - фонд возмещения выбытия основных фондов (амортизационный фонд) и вновь созданную стоимость (национальный доход).

В процессе создания ВВП производится и вновь потребляется промежуточный продукт.

По материально-вещественному составу промежуточный продукт - это предметы труда, использованные для текущего производственного потребления, их стоимость целиком переходит в стоимость средств труда или предметов потребления, входящих в ВВП.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ В ЭКОНОМИКЕ ПОЗВОЛЯЕТ:

1. выделить и формально описать наиболее важные связи экономических переменных и объектов;

2. получить новые знание об объекте;

3. оценить вид зависимостей факторов и параметры переменных, сделать выводы.

ЧТО ТАКОЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ?

Это упрощенное формальное описание экономических явлений.

Математическая модель экономического объекта это его отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков.

Модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на этой основе предсказать поведение объекта в будущем при изменении параметров.

ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ:

1. формулируются предмет и цели исследования;

2. в экономической системе выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие данной цели;

3. выявляются наиболее важные качественные характеристики этих элементов;

4. словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами;

5. вводятся символические обозначения для характеристик экономического объекта и формулируются взаимосвязи между ними;

6. проводятся расчеты по модели и анализируются полученные результаты;

СТРУКТУРА МОДЕЛИ:

Для построения модели нужно определить экзогенные и эндогенные переменные и параметры.

Экзогенные переменные – задаются вне модели, т.е. известны к моменту расчетов.

Эндогенные переменные – определяются в ходе расчетов по модели.

Параметры – коэффициенты уравнений.

КЛАССЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Экономико-математические модели делятся на следующие классы:

1. По уровню обобщения

a. Макроэкономические – описывают экономику как единое целое, связывают укрупненные показатели: ВВП, потребление, инвестиции, занятость. Макромодели отражают функционирование и развитие всей экономической системы или ее достаточно крупных подсистем. В макромоделях хозяйственные ячейки считаются неделимыми.

b. Микроэкономические – описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики. Микромодели - функционирование хозяйственных единиц и их объединений. В микромоделях хозяйственная единица может рассматриваться как сложная система.

2. По уровню абстракции

a. Теоретические – позволяют изучить общие свойства экономики путем вывода из формальных предпосылок. Используются для изучения общих свойств экономики и ее элементов (модели спроса и предложения)

b. Прикладные – дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и выработать рекомендации по принятию решений. Используются для оценки параметров конкретных экономических объектов. Сюда относятся эконометрические модели, применяющие методы математической статистики.

3. Модели равновесные и роста

a. Равновесные – дескриптивные (описательные) модели. Они описывают такое сотояние экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести экономику из этого состояния равна нулю. Пример - модель Леонтьева (затраты-выпуск),

b. Модели роста – предназначены для определения того как должна развиваться экономика при определенных критериях. Пример – Модель Солоу, Самуэльсона-Хикса

4. По учету фактора времени.

a. Статические – описывают состояние объекта в конкретный момент или период времени.

b. Динамические – включают взаимосвязи переменных во времени. Обычно используют аппарат дифференциальных уравнения.

5. По учету фактора случайности.

a. Детерминированные – предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели.

b. Стохастические – допускают случайные воздействия на показатели и используют теорию вероятностей и математическую статистику.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое экономико-математическое моделирование? Его место в экономическом анализе и прогнозировании.

2. Этапы моделирования. Факторы модели.

3. Классы экономико-математических моделей .

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________________________________________________________________

Кафедра «Информационные системы»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА

Конспект лекций

Для студентов третьего курса специальности

«Прикладная информатика (в экономике)»

Тверь 2009

1. Методы оценки инвестиционных проектов

В настоящее время в странах с развитой рыночной экономикой при анализе инвестиционных проектов стали широко использовать технику дисконтирования, основанную на логике сложных процентов. Поэтому в данном разделе приводится сущность и преимущества использования этих методов.

^ 1.1 Метод расчета чистой сегодняшней ценности

Чистая сегодняшняя ценность рассчитывается как разность
дисконтированных к одному моменту времени потоков доходов и расходов
по проекту:

где CF INt - денежный приток за период t;

CF OFt - денежный отток за период t;

R - ставка дисконтирования;

N - жизненный цикл проекта.

В тех случаях, когда инвестиции представляют собой разовые вложения в начальный период, формула расчета NPV будет выглядеть следующим образом:

где С 0 – капиталовложения в нулевой период.

Пользоваться данным критерием при принятии решений достаточно просто. Положительное значение NPV показывает ту величину дохода, которую инвестор получит сверх требуемого уровня. В том случае, когда NPV равна нулю, инвестор не только возвращает свой капитал, но и приращивает его на величину, задаваемую ставкой дисконтирования. Полученное отрицательное значение NPV говорит о том, что проект следует отвергнуть.

Следует отметить, что показатель NPV аддитивен во времени. Данное свойство позволяет суммировать чистые сегодняшние ценности различных проектов, что является очень важным при анализе оптимальности инвестиционного портфеля.

^ 1.2 Метод расчета индекса рентабельности инвестиции

Индекс рентабельности представляет собой отношение дисконтированных величин прибыли и затрат по проекту. То есть применительно, например, к разовым вложениям расчет производится по формуле:

В том случае, когда значение РI>1, проект прибыльный. Если РI<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.

Преимущество данного показателя от показателя NPV состоит в том, что он относительный. Поэтому им легко пользоваться, когда необходимо выбрать один проект из ряда альтернативных, имеющих примерно одинаковые значения NPV, а также при формировании портфеля инвестиций с максимальным суммарным значением NPV.

Такая задача возникает в том случае, когда на выбор имеется несколько привлекательных инвестиционных проектов, но из-за ограниченности в финансовых ресурсах инвестор не может участвовать во всех проектах одновременно. Тогда для каждого проекта рассчитывается PI и проекты ранжируются по убыванию PI. В инвестиционный портфель включаются первые m-проектов, которые в сумме могут быть профинансированы в полном объеме.

В случае если очередной проект поддается дроблению, то он также включается в портфель в той его части, которая может быть профинансирована.

^ 1.3 Метод расчета нормы рентабельности инвестиции

Норма рентабельности (internal rate of return) представляет собой такое значение процентной ставки, при котором чистая сегодняшняя ценность проекта равняется нулю:

где IRR - норма рентабельности (внутренняя норма доходности).

Значение IRR показывает максимально допустимый относительный уровень расходов, которые тем или иным образом могут быть связаны с рассматриваемым проектом. Так например, если проект полностью финансируется за счет ссуды, то значение IRR покажет верхний предел банковской ставки процента, превышение которого сделает проект убыточным.

Для определения IRR используют либо расчетный, либо расчетно-графический способы. В первом случае, ежегодные денежные потоки (с учетом необходимых вложений капитала) дисконтируются различными пробными ставками нормы дисконта с шагом в один процент. При этом будет получен ряд соответствующих чистых сегодняшних ценностей, наименьшая положительная величина из которых будет указывать на точную норму доходности, которую следует принять к расчету.

Применение расчетно-графического способа сводится к тому, что на системе координат по вертикальной оси откладываются нормы доходности, а по горизонтальной - чистые сегодняшние ценности. Затем рассчитываются два значения NPV, соответствующие двум любым ставкам нормы доходности. Между этими двумя точками проводится прямая, точка пересечения которой с вертикальной осью и является предполагаемой внутренней нормой доходности. Однако необходимо отметить, что полученное значение обязательно следует проверить на ноль, и сделать при необходимости корректировку.

^ 1.4 Метод определения дисконтированного срока окупаемости

Под дисконтированным сроком окупаемости понимается период времени, в течение которого инвестор полностью возвращает свои первоначальные затраты, обеспечивая при этом требуемый уровень доходности:

где Т - дисконтированный срок окупаемости;

PV - сегодняшняя ценность инвестиции.

Данный метод является одним из самых простых и широко распространенных, но, как правило, используется для получения дополнительной информации о проекте в тех случаях, когда главное, чтобы инвестиции окупились как можно скорее. Кроме того, метод удобен и при анализе проектов с высокой степенью риска, так как чем короче срок окупаемости, тем менее рискованным является проект.

^ 2. Особенности применения методов оценки инвестиционных проектов

Описанные выше методы справедливы по своей совокупности при анализе независимых инвестиционных проектов. То есть, критерии этих методов только тогда не будут вступать в противоречие друг с другом.

При анализе конкурирующих проектов возникает иная ситуация, важность рассмотрения которой обусловлена стремлением усилить конкуренцию между предприятиями в целях удешевления проектов за счет использования внутренних резервов компаний. Кроме того, подобная ситуация может возникать при жестких финансовых ограничениях.

Рассмотрим два проекта, конкурирующие между собой. Рассчитаем чистую сегодняшнюю ценность проектов, а также их внутреннюю норму доходности при условии, что ставка дисконтирования равна 11%.

Таблица 1

ПРОЕКТ	СF по годам (млн. руб.)					NPV при r=11%	IRR
ПРОЕКТ	0	1	2	3	4	NPV при r=11%	IRR
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35,0%

Как видно из табл.1 NPV проекта X1 составит 33,5 млн. руб., что явно предпочтительнее NPV проекта Х2 - 22,4 млн. руб. Однако если мы будем ориентироваться на внутреннюю норму доходности, то предпочтение следует отдать проекту Х2 с IRR=35% против 26,7% у проекта X1. Таким образом, критерии NPV и IRR вступают в противоречие друг с другом, несмотря на то, что в основе обоих методов лежит одна формула.

Возникшая проблема легко решается, если рассмотреть подробнее суть критерия IRR, при расчете которого предусматривается возможность реинвестирования промежуточных доходов проекта, обеспечивая доходность, равную IRR. Но реально ли обеспечить такую доходность, если доходность реинвестирования будет меньше IRR? Как покажет дальнейшее рассмотрение примера - нет.

Рассчитаем абсолютную величину дохода инвестора в конце четвертого года, или, другими словами, будущую ценность проектов (future value) при условии, что ставка реинвестирования составит 11%:

FV(X1) = 110+ 15* (1 + 0,11) = 126,65 млн.руб.,

FV(X2) = 20 + 15*(1 + 0,11) + 15*(1 + 0,11) 2 +40*(1 + 0,11) 3 = 109,84 млн.руб.

Определим доходность этой операции, исходя из следующей зависимости:

Ряд исследователей, учитывая недостатки критерия IRR, предложили вместо него использовать другой критерий - MIRR (modified IRR). MIRR - это ожидаемая доходность при условии реинвестирования всех промежуточных доходов проекта под заданную норму доходности.

Таблица 2

Как видно из таблицы 2 использование критерия MIRR снимает противоречие между абсолютными и относительными показателями результата реализации проекта. Теперь вопрос снят: предпочтение следует отдать проекту X1. Кроме того, в будущем при сравнении двух конкурирующих проектов лучшим критерием следует считать NPV.

Приведенные примеры опирались на противоречие критериев NPV и IRR при анализе проектов с одинаковым объемом капиталовложений. Поэтому, необходимо рассмотреть также и пример анализа конкурирующих проектов с разным объемом инвестирования.

Таблица 3

ПРОЕКТ	СF по годам (млн. руб.)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
ПРОЕКТ	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X3	-5	4,5	2,2	2,5	2,5	4,3	54%	29,82%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35%	21,74%

Анализ данных, представленных в таблице 3, показывает, что критерии IRR и MIRR указывают на проект ХЗ, тогда как критерий NPV, берущийся за основной в предыдущем примере, явно стоит на стороне проекта Х2. То есть в данной ситуации возникла проблема несоразмерности проектов (проблема масштаба). Поэтому, окончательное решение здесь может быть принято только после анализа возможного вложения разности CFo (ХЗ) и CFo (X2). В нашем примере эта разность составляет 45 млн. руб.

Предположим, что у нас есть возможность вложить эти средства следующим образом:

Таблица 4

ПРОЕКТ	СF по годам (млн. руб.)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
ПРОЕКТ	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X4	-45	36	13	13	18	19,3	34%	21,38%

Теперь необходимо выяснить, что предпочтительнее - проекты ХЗ и Х4 или проект Х2?

Таблица 5

ПРОЕКТ	СF по годам (млн.руб.)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
ПРОЕКТ	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X2	-50	40	15	15	20	22,3	35%	21,74%

Рассматривая результаты, отраженные в таблице 5, становится совершенно ясно, что инвестор отвергнет проект Х2 в пользу реализации двух проектов ХЗ и Х4. При этом следует отметить, что конечным выбором останется все-таки проект X1:

Таблица 6

ПРОЕКТ	СF по годам (млн.руб.)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
ПРОЕКТ	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%	26,16%

Однако могут иметь место ситуации, когда кроме проектов ХЗ и Х4 больше нет проектов с положительной NPV. В этом случае необходимо ориентироваться не на норму доходности, а на NPV.

Необходимо отметить, что проблема масштаба может возникать и в случае связки NPV – PI. При этом методика решения будет аналогичной.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: желательно анализировать инвестиционные проекты сразу несколькими методами, что позволит получить о них дополнительную важную информацию.

^ 3. Учет инфляции при анализе проектов

Влияние инфляции можно учитывать, корректируя на ее индекс либо будущие поступления, либо ставку дисконтирования. При этом целесообразно использовать следующую зависимость:

Где r nom - номинальная ставка процента;

R real - реальная ставка процента;

λ - общий уровень инфляции.

При небольших значениях r и λ формулу (7) можно записать следующим образом:

R nom ≈ r eal + λ (8)

В качестве ставки дисконтирования может использоваться как номинальная, так и реальная ставки процента. Выбор зависит от того, как измеряется денежный поток проекта. Если денежный поток представлен в реальном измерении (в постоянных ценах), то для дисконтирования следует использовать реальную ставку процента.

Однако использование реальных ставок процента и расчет денежного потока в постоянных ценах не позволяет учесть структурную инфляцию. В таких случаях расчет необходимо осуществлять в текущих ценах:

В последнем случае, правда, требуется умение прогнозировать рост цен.

^ 4. Учет риска при анализе единичного проекта

Анализ с учетом риска единичного проекта проводится только в том случае, если инвестиционный проект является независимым. При этом вполне достаточно использовать два показателя: ожидаемую доходность и среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности, которые полностью определяют нормальное распределение.

Расчет ожидаемой доходности производится следующим образом:

(11)

где R i - доходность по i-му варианту развития событий;

P i - вероятность развития событий по i-му варианту;

N - количество рассматриваемых вариантов.

Таким образом понятно, что ожидаемая доходность - это наиболее вероятная доходность по проекту, тогда как СКО, измеряющее дисперсию ожидаемой доходности, представляет собой показатель риска проекта:

При сравнении рисков по активам с различными ожидаемыми доходностями целесообразно пользоваться коэффициентом вариации (то есть мерой относительной дисперсии):

(13)

Очевидно, что чем выше СКО и CV, тем выше риск. В качестве примера рассмотрим данные произвольной выборки, представленные в таблице 7:

Таблица 7

Проект	R		CV
X1	12,5%	3,12	0,25
Х2	11,0%	3,32	0,30
Х3	12,2%	2,68	0,22

В данном примере проект Х2 является наименее доходным и одновременно наиболее рискованным, поэтому, его следует сразу отклонить, а дальнейший выбор будет зависеть от отношения инвестора к риску. Если оно отрицательное, будет реализован проект ХЗ. Если инвестор склонен к риску, предпочтение будет отдано проекту XI.

Практика показывает, что инвесторы уровня чиновников муниципалитетов стараются выбирать минимальный риск. Таким образом, в нашем случае к инвестированию будет принят проект ХЗ.

^ 5. Учет риска при анализе портфеля проектов

Обычно для того, чтобы снизить несистематическую часть риска, применяется диверсификация, в основе которой лежит создание эффективного портфеля посредством анализа корреляции его активов. При этом следует отметить, что каждое новое инвестирование здесь должно рассматриваться с учетом текущего портфеля.

Рассмотрим методику расчета риска портфеля, состоящего из трех проектов, на примере данных, представленных в таблице 7, а также при условии, что каждому проекту достанется по трети инвестируемой суммы.

Доходность портфеля будет определена следующим образом:

(14)

Где R k - ожидаемая доходность k-гo проекта;

X k - доля средств, инвестированных в k-й проект;

M - количество проектов в портфеле.

В нашем примере:

R портфеля = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.

В нашем примере:

Cov 12 = 7,34 и Cov 13 = – 8,12.

Таким образом очевидно, что доходности проектов X1 и Х2 изменяются в одном направлении, а доходности проектов X1 и Х3, а также Х2 и Х3 - в противоположных. Однако, так как абсолютную величину ковариации трудно интерпретировать, с помощью коэффициента корреляции рассчитывают степень взаимозависимости между показателями:

При r = +1 показатели изменяются во времени абсолютно одинаково, при r = –1 происходит совершенно отрицательная корреляция, ноль указывает на отсутствие взаимосвязи.

В рассматриваемом примере:

r 12 = 0,71, r 13 = –0,96 и r 23 = –0,6.

Очевидно, что в целях снижения риска целесообразнее всего была бы комбинация портфеля из проектов X1 и Х3. При этом, однако, необходимо рассчитать и сам риск портфеля с учетом корреляции между проектами:

Рассчитаем риск портфеля (X1, Х3) при условии равно долевого инвестирования:

Таким образом, риск нашего портфеля существенно ниже рисков составляющих его проектов, и при r < 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.

Методика составления портфеля из множества проектов такая же, как и при составлении двухактивного портфеля.

Из всей совокупности портфелей, указанной областью на рис.1, необходимо выбрать те портфели, которые находятся на линии АВ - именно они дают минимальный риск при наивысшей ожидаемой доходности. При этом конкретный выбор среди них зависит от нашего отношения к риску. Графически выбор между риском и доходностью выражается кривыми безразличия, уникальный набор которых существует для каждого индивида с точки зрения предпочтений этого лица к риску и доходности.

Рис.1 Задача выбора оптимального портфеля.

Прямая линия, идущая из точки доходности по свободному от риска активу через точку касания кривой возможных портфелей АВ, называется линией рынка капитала (Capital Market Line - CML) и отражает выбор в системе «риск-доходность». Точка С на рис. 1, таким образом, отражает риск и доходность рыночного портфеля. Наибольший уровень полезности достигается инвестором в точке касания его кривой безразличия к риску и доходности с линией рынка капитала. Если инвестор предпочитает определенность, то эта точка будет расположена слева от рыночного портфеля (слева от С); инвестор вкладывает средства и в свободные от риска, и в рискованные активы, а его портфель, вследствие этого, имеет низкий риск и низкую доходность. Если инвестор более склонен к риску, точка касания будет находиться справа от рыночного портфеля (справа от С); средства инвестируются в более рискованные активы и портфель имеет больший риск и большую доходность.

Проблема поиска оптимального портфеля, состоящего из множества активов в принципе может быть решена процедурой подбора - ищем портфель с наивысшей ожидаемой доходностью при заданном нами уровне риска. Однако на практике проблему размещения капитала целесообразно решать с помощью квадратического варианта линейного программирования.

Определим удельный вес i-го актива в портфеле по затратам:

где CF OFt max - максимально допустимый размер инвестиционной программы на период t.

Рассмотрим сводный показатель риска:

Целевая функция (20), минимизирующая риск итогового портфеля, где в качестве критерия участия в портфеле выступает бинарная переменная X i , единичное значение которой указывает на вхождение i-гo проекта в портфель, а нулевое - на отказ i-му проекту в инвестировании, выглядит следующим образом:

при ограничениях:

где NPV min - размер минимально приемлемой чистой сегодняшней ценности портфеля;

Т н - начальный период инвестиционной программы;

Т к - заключительный период инвестиционной программы;

V k - вектор конкурирующих проектов;

V - множество векторов конкурирующих проектов;

N l - количество проектов предыдущего портфеля, Т к которых превышает Т н составляющегося портфеля.

Очевидно, что при расчете целевой функции (20) используется только та часть дисперсионно-ковариационной матрицы (19), которая расположена на и ниже главной диагонали, что вызвано применением ограничительного условия во вложенном цикле но столбцам, при этом, так как существуют две ковариации для каждой возможной пары проектов, для значений вложенного цикла введен удваивающий коэффициент.

Таким образом, задача оптимизации заключается в том, чтобы определить, какие проекты следует принять к инвестированию так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска оптимально соответствовали целям инвестора, которые определены направлением целевой функции и набором ограничений:

1. Риск, измеряющийся дисперсией (СКО) портфеля, минимизируется.

2. Доход от портфеля, равный аддитивному показателю ожидаемых чистых сегодняшних ценностей принятых проектов, не должен быть ниже требуемой суммы, задаваемой дисконтированной к начальному периоду инвестирования величиной.

3. Суммарные объемы ежегодных инвестиций не могут превышать установленные на данный период времени лимиты имеющихся (выделенных) средств отдельно по каждому году инвестиционной программы.

4. В портфель может быть включено только по одному из проектов, представляющих одну и ту же группу конкурирующих проектов.

5. Составление нового портфеля осуществляется с учетом обязательного включения в его состав тех проектов предшествующего портфеля, период завершения инвестиционной программы по которым превышает период начала инвестиционной программы нового портфеля.

6. Рассматриваемые проекты не подлежат дроблению.

Описываемая задача включает ряд ограничений в виде неравенств, в основном устанавливающих пределы для инвестирования в тех или иных направлениях. Иначе нельзя гарантировать, что полученное решение окажется на границе эффективности. При этом мы можем получить более рискованный портфель, однако нам не нужно будет использовать все свои деньги, и (или) мы сможем получить больший доход.

Расчет и выдача результирующих характеристик портфеля:

Множество отобранных проектов:

Ожидаемая чистая сегодняшняя ценность портфеля:

Ожидаемая доходность портфеля:

Риск портфеля проектов:

Экономия финансовых ресурсов:

Существуют различные определения понятия «риск», поэтому, обобщая вышеизложенное, под риском будем понимать ситуацию, когда имеются несколько возможных результатов тех или иных действий, а также существуют необходимые данные прошлых периодов, которые дают возможность рассчитать некоторые зависимости для предвидения возможных будущих результатов.

Широко применяемая для составления портфелей модель САРМ (модель ценообразования на капитальные активы), разработанная У. Шарпом, исходит из того, что важно учитывать только систематический риск каждого отдельного актива. Однако в работах Г. Марковица доказана важность учета общего риска в целом. Поэтому, предыдущие рассуждения были основаны именно на данной предпосылке.

Систематический риск вызывается такими факторами, как инфляция. экономический кризис, другие общерыночные факторы.

Наличие несистематического риска связано со случайными событиями, влияющими на конкретные активы или компании.

Библиографический список

Бард В.С. Финансово-инвестиционный комплекс:теория и практика в условиях реформирования российской экономики. - М: Финансы и статистика, 1998. - 304с.
Богатин Ю.В., Швандар В.А. Инвестиционный анализ: Учеб.пособие для студ.вузов,обуч.по эконом.спец.; Богатин Ю.В.,Швандар В.А.. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 286с.
Богатин Ю.В., Швандар В.А. Оценка эффективности бизнеса и инвестиций: Учеб.пособие для студ.вузов,обуч.по эконом.спец.. - М: Финансы,ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 256с.
Бочаров В.В. Инвестиционный менеджмент: Учеб.пособие. - СПб.и др.: Питер, 2000. - 152с. - Краткий курс.
Бродский М.Н., Бродский Г.М. Право и экономика:инвестиционное консультирование; С.-Петерб.гос.ун-т экономики и финансов.Междунар.акад.нац.безопасности объединен.Европы. - СПб., 1999. - 488с.
Вахрин П.И. Организация и финансирование инвестиций: (Сб.практ.задач и конкрет.ситуаций):Учеб.пособие. - М.: Информ.-внедренч.центр"Маркетинг", 1999. - 149с.
Игошин Н.В. Инвестиции.Организация управления и финансирование: Учеб.для студ.вузов,обуч.по эконом.спец.. - М: Финансы,ЮНИТИ, 1999. - 414с.
Ковалев В.В. Финансовый анализ.Управление капиталом.Выбор инвестиций.Анализ отчетности. - 2-е изд.перераб.и доп.. - М.: Финансы и статистика, 1997. - 511с.
Колемаев В.А. Математическая экономика. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 206с.
Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции.Неоклассические основы теории финансов: Учеб.для вузов: Пер.с нем.. - СПб. и др.: Питер, 2000. - 381с. - Базовый курс.
Лимитовский М.А. Основы оценки инвестиционных и финансовых решений. - 3-е изд.,доп.и перераб.. - М.: ДеКА, 1998. - 231с.
Оценка эффективности инвестиций предприятия: Метод.рекомендации для написания орг.-экон. части дипломного проекта студентами техн. спец.; Твер.гос.техн.ун-т.Каф.экономики и упр. пр-вом;Сост.В.А Никольская, А.Г.Бокичева. - Тверь, 2000. - 12с.
Салманов О.Н. Математическая экономика с применением Mathcad и Excel. БХВ-Петербург, 2003. – 464с.
Сергеев И.В., Веретенникова И.И. Организация и финансирование инвестиций: Учеб.пособие для студентов вузов,обучающихся по экон.спец.и направлениям; Сергеев И.В.,Веретенникова И.И.. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 271с.
Холт Р.Н., Барнес С.Б. Планирование инвестиций: [Учеб.пособие]:Пер.с англ.. - М.: Акад.нар.хоз-ва:Дело, 1994. - 118с.
Четыркин Е.М. Финансовый анализ производственных инвестиций; Акад.нар.хоз-ва при Правительстве РФ. - М.: Дело, 1998. - 255с.
Шарп У.Ф., Александер Г.Д. Инвестиции: Пер.с англ.; Подготовлено при фин.содействии Нац.фонда подгот.фин.и управлен.кадров в рамках его программы"Банк.дело". - М.: ИНФРА-М, 1997. - 1024с.